Shapley値

Shapley値公式

\(\phi_i(v) = \sum_{S \subseteq N \\ \lbrace i \rbrace} \frac{|S|!( |N| - |S| - 1 )!}{|N|!}({v ( S \small \bigcup \lbrace i \rbrace )} - v(S))\)

例

張さん、王さん、李さんはテスト勉強しています。

$ N = \lbrace 張さん、王さん、李さん \rbrace $

独学の場合は

張さんは40点を取れます。 $v(張) = 40$

王さんは60点を取れます。 $v(王) = 60$

李さんは90点を取れます。 $v(李) = 90$

張さんと王さんに勉強会をすると合計140点を取れます。 $v(張, 王) = 140$

張さんと李さんに勉強会をすると合計150点を取れます。 $v(張, 李) = 160$

王さんと李さんに勉強会をすると合計175点を取れます。 $v(王, 李) = 175$

3人一緒に勉強すると合計240点を取れます。 $v(張、王、李) = 240$

それぞれの貢献度を求める

\[i = 張さん\] \[S \subset \lbrace \emptyset, (王さん), (李さん), (王さん, 李さん)\rbrace\]

$S = \emptyset$の場合

\[\frac{1}{3}(v(張) - v(\emptyset)) = \frac{40}{3}\]

$S = (王さん)$の場合

\[\frac{1}{6}(v(張, 王) - v(王)) = \frac{1}{6}(160 - 60) = \frac{50}{3}\]

$S = (李さん)$の場合

\[\frac{1}{6}(v(張，李) - v(李)) = \frac{1}{6}(160 - 90) = \frac{35}{3}\]

$S = (王さん, 李さん)$の場合

\[\frac{1}{3}(v(張，王，李) - v(王, 李)) = \frac{1}{3}(240 - 175) = \frac{65}{3}\]

よって、

\[\phi_張(v) = \frac{190}{3}\]

$i = 王さん, i = 李さん$のときも同じような計算すると

\[\phi_王(v) = 95\] \[\phi_李(v) = \frac{245}{3}\]